Задача 60010 Найти общее решение дифференциального...

60b1ff20a1c50e1d30437be1

30.05.2021 18:25:02

Найти общее решение дифференциального уравнения:
y’’+y=2cos7x-3sin7x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.05.2021 19:12:48

★

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''+y=0

Составляем характеристическое уравнение:

k^2+1=0

k_(1)=-i и k_(2)=i - корни комплексно-сопряженные,


поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)cosx+C_(2)sinx - общее решение однородного уравнения




Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:

y_(частное неодн)=A*cos7x+B*sin7x

y`_(частное неодн) =A*(-sin7x)*(7x)`+B*(cos7x)*(7x)`=-7*A*sin7x+7*B*cos7x

y``_(частное неодн)=-7*A*(cos7x)*(7x)`+7*B*(-sin7x)*(7x)`=-49*A*cos7x-49*B*sin7x

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

-49*A*cos7x-49*B*sin7x+A*cos7x+B*sin7x=2*cos7x-3*sin7x

-48*Acos7x-48*B*sinx=2*cos7x-3*sin7x ⇒

-48*A=2

A=-1/(24)

-48*B=-3

В=1/16

y_(общее неодн)=y_(общее одн)+ y_(частное неодн)=C_(1)cosx+C_(2)sinx-(1/(24))*cos7x+(1/(16))*sin7x