Задача 59997 ...
Условие
1-ах=2min{x; 2(x-1)²} имеет ровно два решения на отрезке [0;1]
Решение
2x^2-4x+2=x
2x^2-5x+2=0
D=25-16=9
x_(1)=(5-3)/4=1/2 ; x_(2)=(5+3)/4=2
1/2 ∈ [0;1]
на отрезке [0;1/2]
min{x; 2(x-1)^2}=x
на промежутке (1/2;1]
min{x; 2(x-1)^2}=2(x-1)^2
см. рис.
1) Решаем уравнение c параметром [m]1-ax=2x[/m] на [0;1/2]
[m]1=(2+a)x[/m]
[b]a=-2[/b]
уравнение принимает вид
[m]0x=1[/m] - уравнение не имеет корней
a ≠ -2
[m]x=\frac {1}{2+a} [/m] один корень,
требование принадлежности этого корня отрезку [0;1/2]:
[m]0 ≤ \frac {1}{2+a} ≤ \frac{1}{2}[/m] ⇒ [m] \frac {-a}{2+a} ≤0[/m] ⇒[b] a ∈ (- ∞ ;-2)U[0;+ ∞ )[/b]
или
2) Решаем уравнение c параметром [m]1-ax=2\cdot 2(x-1)^2[/m] на (1/2;1]
[m]4x^2-(8-a)x+3=0[/m]
Уравнение имеет хотя бы один корень, если
D ≥ 0
Запишем требование принадлежности хотя бы одного корня промежутку (1/2;1]:
D=(8-a)^2-4*3*3=64-16a+a^2-48=a^2-16a+16
a^2-16a+16 ≥ 0
(a^2-16a+64)-48≥ 0
(a-8)^2-(4sqrt(3))^2≥ 0
(a-8-4sqrt(3))*(a-8+4sqrt(3))≥ 0
___+_ [8-4sqrt(3)] ____ [8+4sqrt(3)] __+__
a ∈ (- ∞ ;8-4sqrt(3)] U[8+4sqrt(3);+ ∞ )
корни
x_(1)=[m]\frac{8-a-sqrt{a^2-16a+16}}{8}[/m] или x_(2)=[m]\frac{8-a+sqrt{a^2-16a+16}}{8}[/m]
один корень принадлежит (1/2;1]
[m]\frac{1}{2} < \frac{8-a+sqrt{a^2-16a+16}}{8} ≤1 [/m] ⇒ [b]a ∈ [/b]
два корня принадлежат (1/2;1]
[m]\frac{1}{2} < \frac{8-a-sqrt{a^2-16a+16}}{8} ≤1 [/m]; [m]\frac{1}{2} < \frac{8-a+sqrt{a^2-16a+16}}{8} ≤1 [/m] ⇒ [b]a ∈ [/b]
