Задача 59985 Найти область сходимости ряда...
Условие
Решение
[m]lim_{n → ∞ }\frac{((n+1)-2)^3\cdot |x+3|^{2(n+1)}}{(n-2)^3\cdot |x+3|^{2n}}=|x+3|^2\cdot lim_{n → ∞ }\frac{(n+1)-2)^3}{(n-2)^3}=|x+3|^2\cdot 1[/m]
Если
[m]|x+3|^2 < 1[/m], то ряд сходится.
Значит интервал сходимости находим из неравенства:
[m]|x+3|^2 < 1[/m] ⇒ [m]|x+3|^2-1 < 0[/m] ⇒ [m](|x+3|-1)\cdot (|x+3|+1) < 0[/m]
⇒[m] (|x+3|+1) > 0[/m]
[m]|x+3|-1 <0[/m]
[m]|x+3|<1 [/m]
[m]-1<x+3<1 [/m] ⇒ [m]-1-3<x<1-3 [/m] ⇒ [m]-4<x<-2 [/m]
Проверяем сходимость на концах интервала
при x=-4 получаем числовой ряд ∑ _(3)^( ∞ ) (n-2)^3 - расходится
при x=-2 получаем числовой ряд ∑ _(3)^( ∞ ) (n-2)^3 - расходится
О т в е т.[b] (-4;-2)[/b]