Задача 59984 ...

60ab13e2a1c50e1d304348b8

28.05.2021 18:56:19

Если α + β + γ + σ = 2π, то cos^2 α +cos^2 β – cos^2 γ – cos^2 σ = 2sin(β+γ) sin(α+γ) cos(α+β)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.05.2021 20:14:19

★

[m]cos^2 α +cos^2 β – cos^2 γ – cos^2 σ =\frac{1+cos2 α }{2}+\frac{1+cos2 β }{2}-\frac{1+cos2 γ }{2}-\frac{1+cos2 σ }{2}=\frac{1}{2}(cos2 α +cos2 β -cos2 γ -cos2 σ) [/m] [red][b]=[/b][/red]

Так как
α + β + γ + σ = 2π ⇒ γ + σ =2π-( α + β )

cos( γ + σ )=cos(2π-( α + β ))

и по формулам приведения

cos(2π-( α + β ))=cos( α + β )


[red][b]=[/b][/red][m]\frac{1}{2}\cdot 2cos( α + β )\cdot cos( α - β )-\frac{1}{2}\cdot 2cos( γ + σ )\cdot cos( γ - σ )=[/m]


[m]=cos( α + β )\cdot cos( α - β )-cos( γ + σ )\cdot cos( γ - σ )=[/m]


[m]=cos( α + β )\cdot cos( α - β )-cos( α + β )\cdot cos( γ - σ )=[/m]


[m]=cos( α + β )\cdot (cos( α - β )- cos( γ - σ ))[/m][green][b]=[/b][/green]


Формула [r]cosx-cosy[/r]

и условие
α + β + γ + σ = 2π ⇒β+ σ α + γ =2π-( α + γ )
α + β + γ + σ = 2π ⇒ α + σ =2π-( β+ γ )

[green][b]=[/b][/green][m]cos( α + β )\cdot (-2sin\frac{ α- β + γ- σ }{2}2sin\frac{ α- β - γ+ σ }{2})=-2cos( α + β )\cdot sin\frac{2( α + γ)- 2π}{2}sin\frac{2π-2( β+ γ) }{2}=-2cos( α + β )\cdot sin(( α + γ )-π)sin(π-( β+ γ))=[/m]

[m]=2cos( α + β )\cdot sin(π-( α + γ ))sin(π-( β+ γ))=2cos( α + β )\cdot sin( α + γ )sin( β+ γ)[/m] что и требовалось доказать



[m] sin(π-( α + γ ))=- sin( α + γ )[/m]

[m] sin(π-( β+ γ) ))=- sin( β+ γ) [/m]

и

[m] sin(π-( α + γ ))\cdot sin(π-( β+ γ) )) =- sin( α + γ )\cdot (-sin( β+ γ) )=sin( α + γ )sin( β+ γ)[/m]