Задача 59983 ...
Условие
ax^2+1>4x–3a
выполняется при всех x ∈ (–1;0).
Решение
ax^2-4x+(3a+1) >0 при всех x ∈ (–1;0)
Графиком
y=ax^2-4x+(3a+1) является парабола.
Значит, она должна быть так расположена, чтобы на (-1;0) график был выше оси Ох.
[b]При a=0[/b]
0+1> 4x - верно при всех x ∈ (–1;0)
1)
Если a >0 и D <0 , то график выше оси Ох. Будет верно для x ∈ (-∞;+ ∞)
D=16-4a(3a+1)=16-12a^2-4a
Тогда
[m]\left\{\begin {matrix}a >0\\16-12a^2-4a <0\end {matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin {matrix}a >0\\3a^2+a-4>0\end {matrix}\right.[/m]
D=49
[m]\left\{\begin {matrix}a >0\\a < -\frac{4}{3}... или..a>1\end {matrix}\right.[/m]
[b]О т в е т. 1) случая a ∈ (1;+ ∞) [/b]
[b]При a=1[/b]
x^2+1 >4x-3
x^2-4x+4 >0 при всех x ≠ 2
2)
Если D >0 , то график должен быть выше оси Ох на (-1;0)
f(-1)=a(-1)^2-4(-1)+(3a+1)
f(-1)=a+4+3a+1
[b]f(-1) ≥ 0[/b]
f(0)=a*0^2-4*0+(3a+1)
[b]f(0) ≥0[/b]
[m]\left\{\begin {matrix}16-12a^2-4a >0\\3a+1 ≥0\\a+4+(3a+1) ≥0\end {matrix}\right.[/m]
Но этого недостаточно, потому как парабола может пересекает ось Ох внутри (-1;0) [b] дважды[/b] и удовлетворять условиям
системы ( cм. рис.)
Парабола может пересекает ось Ох внутри (-1;0) [b] дважды[/b]
это значит вершина параболы находится внутри (-1;0)
x_( в)=4/2a=2/a
(2/a )∉ (-1;0)
⇒
(2/a) >0 ⇒ [blue]a>0[/blue]
или
(2/a) < -1 ⇒ (2+a)/a <0 ⇒ [blue]a ∈ (-2;0)[/blue]
a ∈ (-2;0)U(0;+ ∞ )
[m]\left\{\begin {matrix}16-12a^2-4a >0\\3a+1 ≥0\\a+4+(3a+1) ≥0\\a ∈ (-2;0)\cup(0;+ ∞ ) \end {matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin {matrix}-\frac{4}{3}<x<1\\a >-\frac{1}{3}\\a>-\frac{5}{4}\\a ∈ (-2;0)\cup(0;+ ∞ ) \end {matrix}\right.[/m]
О т в е т. 2) случая [[m]-\frac{1}{3}[/m] ;0) U (0;1)
О т в е т. [[m]-\frac{1}{3}[/m] ;0) U{0}U (0;1)U{1}U (1;+ ∞)=[red][[m]-\frac{1}{3}[/m] ;+ ∞)[/red]
