Задача 59971 Проинтегрировать дифференциальные...

5fbd576964081d1dafcb1af2

27.05.2021 20:58:54

Проинтегрировать дифференциальные уравнения(с понижением порядка )

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.05.2021 21:19:52

★

Замена:

y`=p(y(x))


y``=p`(y)*y`(x)=p`(y)*p

y*p`*p=p-p^2


p`=dp/dy


dp/(1-p)=dy/y

Интегрируем:

∫ dp/(1-p)= ∫ dy/y

-ln|1-p|+lnC=lny

lny+ln(1-p)=lnC

y*(1-p)=C

p=y`

y*(1-y`)=C_(1)

y-y*y`=C_(1)
y`=dy/dx

y-y*dy/dx=C_(1)

y*dx-y*dy=C_(1)*dx

ydy+(C_(1)-y)dx=0

ydy/(y-C_(1))=dx

Интегрируем:
∫ ydy/(y-C_(1))= ∫ dx


∫dy+C_(1) ∫ dy/(y-C_(1))= ∫ dx

[b]y+C_(1)ln|y-C_(1)|=x+C_(2)[/b]