Задача 59965 Найти общий интеграл дифференциального ...
Условие
Решение
Q(x;y)=x^3*e^(y)-1
Так как
∂ P/ ∂ y=(3x^2*e^(y))`_(y)=3x^2*e^(y)
∂ Q/ ∂ x=(x^3*e^(y)-1)`_(x)=3x^2*e^(y)
и ∂ P/ ∂ y = ∂ Q/ ∂ x,
то это [b]уравнение в полных дифференциалах.[/b]
Значит, u(x;y)=C - решение дифференциального уравнения.
Функция u может быть найдена из условий:
∂ u/ ∂ x=P(x;y)
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
∂ u/ ∂ x=P(x;y) ⇒ [b]u(x;y)[/b]= ∫ P(x;y) dx= ∫ (3x^2*e^(y))dx=e^(y)*(x^3)+ [b]φ (y)[/b]
Чтобы найти [b]φ (y)[/b]
вычисляем производную:
∂ u/ ∂ y=(e^(y)*(x^3)+ [b]φ (y)[/b])`_(y)=x^3*e^(y)+ [b](φ (y)[/b])`_(y)
Так как
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
сравниваем x^3*e^(y)+ [b](φ (y)[/b])`_(y) c Q(x;y)=x^3*e^(y)-1
[b]φ` (y)[/b]=-1
Тогда
[b] φ (y)[/b]=-y +C
О т в е т.
[b]u(x;y)=x^3*e^(y)-y+C[/b]