Задача 59963 Найти частное решение ДУ...
Условие
Решение
Решаем однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y``+25y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+25=0
k_(1,2)= ± 5i– корни комплексно-сопряженные
α =0
β =5
Общее решение однородного имеет вид:
y_(общее одн.)=e^( α x)*(С_(1)*cosβ x+C_(2)sinβ x)
e^(0)=1
[b]y_(общее одн.)=С_(1)*cos(5x)+C_(2)sin(5x)[/b]
Правая часть f(x)=e^(x)*(cos5x-10sin5x)
имеет "специальный вид":e^( α x)*(Acos β x+Bsin β x)
α =1
β =5
α ± β i=1 ± 5i не корни характеристического уравнения
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(x)*(Acos5x+Bsin5x)
Находим производные первого и второго порядка
y`_(част)=(e^(x)*(Acos5x+Bsin5x))`=e^(x)*(Acos5x+Bsin5x)+e^(x)*(5A*(-sin5x)+5B*cos5x)=
=e^(x)*(Acos5x+Bsin5x-5A sin5x+5Bcos5x)=e^(x)*((A+5B)*cos5x+(B-5A)sin5x)
y``_(част)=(e^(x)*(((A+5B)*cos5x+(B-5A)sin5x))`=
=e^(x)*(((A+5B)*cos5x+(B-5A)sin5x))+e^(x)*(-5(A+5B)*sin5x+5(B-5A)cos5x))=
=e^(x)*((10B-24A)*cos5x+(-24B-10A)sin5x))=
подставляем в данное уравнение:
e^(x)*((10B-24A)*cos5x+(-24B-10A)sin5x))+25*e^(x)*(Acos5x+Bsin5x)=e^(x)*(cos5x-10sin5x)
(-10B-24A+25A) *[b]cos5x[/b]+(-24B-10A+25B)*sin5x=[b]cos5x[/b]-10sin5x
{A-10B=1
{-10A+B=-10
Умножаем второе на 10
{A-10B=1
{-100A+10B=-100
Складываем
-99A=-99
A=1
B=0
Значит, y_(част)=e^(x)*(1*cos5x+0*sin5x)
и
[b]y_(общее неодн.)=y_(общее одн)+y_(частное)=С_(1)*cos(5x)+C_(2)sin(5x)+e^(x)cos(5x)[/b]
Решение задачи с начальными данными:
y(0)=3
y`(0)=4
Подставляем х=0;y=3 в найденное решение:
[b]y=С_(1)*cos(5x)+C_(2)sin(5x)+e^(x)cos(5x)[/b]
3=С_(1)*cos0+C*(2)sin0+e^(0)*cos0 ⇒
3=C_(1)+0+1
C_(1)=2
Находим
[b]y`=-5С_(1)*sin(5x)+5C_(2)cos(5x)+e^(x)cos(5x)+e^(x)*(-sin5x)*5[/b]
Подставляем х=0;y`=4
4=-5C_(1)*0+5C_(2)*1+1+0
C_(2)=3/5=0,6
[b]y=2*cos(5x)+0,6sin(5x)+e^(x)cos(5x)[/b]- решение, удовлетворяющее условиям:
y(0)=3
y`(0)=4