Задача 59961 ...
Условие
Решение
Все решения
[m]\left\{\begin {matrix}x^2+4x+5>0\\x^2-4x+5>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒
{D=4^2-4*5 <0, неравенство верно при любом х
{D=4^2-4*5 <0, неравенство верно при любом х
⇒ [red]ОДЗ: x ∈ (- ∞ ;+ ∞ )[/red]
По формуле:
[m]log_{a}b^{k}=klog_{a}b[/m] . [b] b>0[/b]; a>0; a ≠ 1
[m]lg\sqrt{x^2+4x+5}=lg(x^2+4x+5)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}lg(x^2+4x+5)[/m], [b] x^2+4x+5 > 0 [/b]cм. ОДЗ
Уравнение принимает вид:
[blue][m]\frac{1}{2}lg2 + \frac{1}{2}lg(x^2+4x+5)-\frac{1}{2}lg(x^2-4x+5)=\frac{1}{2}[/m][/blue]
[i]Умножаем[/i] на 2:
[m]lg2 +lg(x^2+4x+5)-lg(x^2-4x+5)=1[/m]
так как [m] 1=lg10[/m]
[m]lg2 +lg(x^2+4x+5)=lg(x^2-4x+5)+lg10[/m]
Применяем свойство логарифмов : [m]lg(x\cdot y)=lgx+lgy[/m], которое верно при x>0; y>0
[blue][m]lg2 \cdot (x^2+4x+5)=lg(x^2-4x+5)\cdot 10[/m][/blue]
Логарифмическая функция с основанием 10 монотонно возрастает.
Это означает, что каждое свое значение она принимает в единственной точке.
Значения[i] функции равны[/i], значит равны и [i]аргументы:[/i]
[blue][m]2 \cdot (x^2+4x+5)=(x^2-4x+5)\cdot 10[/m] [/blue] [i]Делим на 2[/i]
[m]x^2+4x+5=5(x^2-4x+5)[/m]
[m]4x^2-24x+20=0[/m] [i]Делим на 4[/i]
[blue][m]x^2-6x+5=0[/m][/blue] По теореме Виета x_(1)+ x_(2)=[b]6[/b]; x_(1)*x_(2)=[b]5[/b]
Корни уравнения:
x_(1)=1; x_(2)=5
Оба корня входят в ОДЗ
О т в е т.[b] 1; 5[/b]