Задача 59922 Найти общий член ряда, и проверить...
Условие
Решение
Это знакочередующийся ряд.
Признак Лейбница
Не выполняется условие монотонного убывания последовательности:[m] (\frac{n}{\sqrt{(n+1)^2+1)^{ ∞}_{1} [/m]
1) [m] \frac{n}{\sqrt{(n+1)^2+1} <\frac{n+1}{\sqrt{(n+2)^2+1}<\frac{n+2}{\sqrt{(n+3)^2+1} <....[/m]
[m]f`(x)=\sqrt{\frac{x^2}{(x+1)^2+1}}=\frac{1}{2sqrt{\frac{x^2}{(x+1)^2+1}}\cdot (\frac{x^2}{x^2+2x+2)=[/m]
[m]=\frac{1}{2sqrt{\frac{x^2}{(x+1)^2+1}}\cdot (\frac{(x^2)`\cdot (x^2+2x+2)-x^2\cdot (x^2+2x+2)`}{x^2+2x+2) >0[/m]
2)[m] (\frac{n}{(\sqrt{(n+1)^2+1}) → 0 [/m] при n → ∞ выполняется
Проверяем признак Абеля.
Не выполняется
Проверяем признак Дирихле
Не выполняется
Ряд из модулей расходится, так как эквивалентен гармоническому
∑ [m](\frac{n}{(\sqrt{(n+1)^2+1})[/m]
Данный ряд расходится...
по определению. Последовательность его частичных суммрасходится ( см. рис.)
