Задача 59901 Буду очень благодарен за ответ ( Найти...
Условие
Решение
y`-2x*y=2x^3 - это линейное уравнение первого порядка.
Решают двумя способами:
1) способ Бернулли
2) метод вариаций произвольной постоянной.
1) Пусть y=u*v - решение уравнения.
Тогда y`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`-2x*u*v=2x^3
u`*v+(u*v`-2x*u*v)=2x^3
u`*v+u*(v`-2x*v)=2x^3
Выбираем v=v(x) так, чтобы
(v`-2x*v)=0
тогда
u`*v+u*0=2x^3
(v`-2x*v)=0 - уравнение с разделяющимися переменными.
Так как v`=dv/dx
dv/dx=2x*v
dv/v=2xdx
Интегрируем
∫ dv/v= ∫ 2xdx
ln|v|=x^2 , константы С нет, потому что можно положить ее равной 0.
[b]v=e^(x^2)[/b]
u`*v+u*0=2x^3
u`*e^(x^2)=2x^3 - уравнение с разделяющимися переменными.
du=e^(-x^2)*2x^3
Интегрируем
∫ du= ∫e^(-x^2)*2x^3dx
применяем метод интегрирования по частям.
[b]d(e^(-x^2))[/b]=(e^(-x^2))`dx=e^(-x^2)*(-x^2)`dx=[b]-2x*e^(-x^2)*dx[/b]
∫e^(-x^2)*2x^3dx= -∫[blue] x^2[/blue]*[b](-2x*e^(-x^2)dx)[/b]=
=-∫[blue] x^2[/blue]*[b]d(e^(-x^2))[/b]=
=-x^2*e^(-x^2)- ∫ 2x*e^(-x^2)dx=
=-x^2*e^(-x^2)+∫ x*[b]d(e^(-x^2))[/b]=
=-x^2*e^(-x^2)+e^(-x^2)+ C
y=(-x^2*e^(-x^2)+e^(-x^2)+ C)*e^(x^2) ⇒
y=-x^2+1+C*e^(x^2) - общее решение
Находим решение, удовлетворяющее частному условию:
[red]y(0)=0[/red]
Подставляем
x=0; y=0 в общее решение
0=-0^2+1+С*e^(0)
так как e^(0)=1
С=-1
y=-x^2+1- e^(x^2) - решение, удовлетворяющее частному условию: [red]y(0)=0[/red]
О т в е т.
y=-x^2+1+C*e^(x^2) - общее решение
y=-x^2+1- e^(x^2) - решение, удовлетворяющее частному условию: [red]y(0)=0[/red]