Задача 59869 интегралы с небольшим пояснением......
Условие
Решение
Табличный интеграл
∫ udu=u^2/2 + C
u=sinx
du=cosxdx
Поэтому решение выглядит так:
∫ cosx*sinxdx= ∫ sinx d(sinx)=(1/2)sin^2x + C
3.22
Табличный интеграл
∫ sinu du = -cosu+C
u=[m]\frac{1}{x}[/m]
du=[m]-\frac{1}{x^2}dx[/m]
Поэтому решение выглядит так:
∫ [m]\frac{sin\frac{1}{x}}{x^2}dx= ∫ sin\frac{1}{x}(-d\frac{1}{x})=-(-cos\frac{1}{x})+C=cos\frac{1}{x}+C[/m]
4.22
[m] ∫ \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx=[/m]
Замена переменной:
[m]\sqrt{x^2+1}=t[/m] ⇒ [m]x^2+1=t^2[/m]
[m]x=\sqrt{t^2-1}[/m]
тогда
[m]dx=(\sqrt{t^2-1})`dt=\frac{1}{2\sqrt{t^2-1}}\cdot (t^2-1)`dt=\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}dt[/m]
[m] ∫ \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx=∫ \frac{t }{\sqrt{t^2-1}}\cdot \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}dt=∫\frac{t^2}{t^2-1}dt[/m]
Это неправильная дробь. Выделяем целую часть. Для этого отнимем и прибавим 1:
[m]∫\frac{t^2-1+1}{t^2-1}dt= ∫ (1+\frac{1}{t^2-1})dt=t+\frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}|+C=[/m]
[m]=\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}|+C[/m]
Обычно такая замена не приводит к рационализации интеграла, но в данном случае все получается
5.22
Интегрирование по частям
u=(1-3x)
du=(1-3x)`dx=[blue]-3dx[/blue]
dv=sin7x dx
v= ∫dv= ∫sin7x dx=(1/7) ∫ sin[b]7x[/b] d([b]7x[/b])=(1/7)(-cos7x)+C
∫ udv=u*v- ∫ vdu=(1-3x)*(1/7)*(-cos7x)- ∫ (1/7)*(-cos7x)*[blue](-3x)dx[/blue]=
[m]=\frac{(3x-1)}{7}\cdot cos7x-\frac{3}{7} ∫ cos7x dx=[/m]
[m]=\frac{(3x-1)}{7}\cdot cos7x-\frac{3}{7}\cdot \frac{1}{7} ∫ cos7x d (7x)=[/m]
[m]=\frac{(3x-1)}{7}\cdot cos7x-\frac{3}{49}sin7x + C[/m]