Задача 59867 Задача №8. Задано линейное неоднородное...
Условие
второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение,
которое удовлетворяет приведенным начальным условиям
Решение
y``-2y`+y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+1=0
(k-1)^2=0
k_(1,2)=1 - корни действительные кратные
Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:
y=C_(1)e^(kx)+C_(2)*x*e^(kx)
[b]y= C_(1) e^(x)+C_(2)*xe^(x)[/b] - общее решение данного однородного.
Правая часть f(x)=9e^(-2x)+2x-4
является суммой двух функций:
f_(1)(x)=9e^(-2x) и f_(2)(x)=2x-4
Значит частное решение является суммой двух частных решений
Для
f_(1)(x)=9e^(-2x)
y_(частное_(1) неод)=Аe^(-2x)
y`_(частное_(1) неод)=-2Аe^(-2x)
y``_(частное_(1) неод)=4Аe^(-2x)
Подставляем в уравнение
y``-2y`+y=9e^(-2x)
4Аe^(-2x)-2*(-2Аe^(-2x))+Аe^(-2x)=9e^(-2x)
9A=9
A=1
[b]y_(частное_(1) неод)=e^(-2x)
[/b]y_(частное_(2) неод)=Аx+B
y`_(частное_(2) неод)=A
y``_(частное_(2) неод)=0
Подставляем в уравнение
y``-2y`+y=2x-4
0-2*A+Аx+B=2x-4
A=2
-2A+B=-4 ⇒ -2*2+B=-4
B=0
[b]y_(частное_(2) неод)=2x[/b]
y(общее неоднород)=y_(общее однород)+y_(частн_(1) неодн)+у_(частн_(2) неодн)
О т в е т.
y= [b]C_(1) e^(x)+C_(2)*x*e^(x) +e^(-2x)+2x[/b]
Решение, удовлетворяющее заданным условиям:
Первое условие
y(0)=1
Подставляем
х=0
y=1
в найденное решение:
y= [b]C_(1) e^(x)+C_(2)*x*e^(x) +e^(-2x)+2x[/b]
Получаем
[b]1=C_(1) +1[/b]
e^(0)=1
[b]С_(1)=0[/b]
Второе условие:
y`(0)=1
Находим
y`=([b]C_(1) e^(x)+C_(2)*x*e^(x) +e^(-2x)+2x[/b])`
y`=C_(1) e^(x)+C_(2)*e^(x)+C_(2)*x*e^(x)-2e^(-2x)+2
Подставляем
х=0
y`=1
получаем:
1=C_(1) +C_(2)-2+2
С_(2)=1
y= [b]x*e^(x) +e^(-2x)+2x[/b]- решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям