Задача 59859 Вычислить приближенные значения данных...
Условие
Решение
Δ x=2 ° =(π/90)
y_(o)=30 ° ⇒ 28 °=30 ° + Δy
Δy=- 2 ° =-(π/90)
По формуле ( cм. скрин)
x_(o); y_(o) - " хорошая точка"
Для данной задачи это (45 ° ; 30 ° ) потому что значения функции и производных в этой точке просто вычисляются
Точка M(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy) - это " плохая" точка
Поэтому в формуле значение функции в плохой точке находят через значения функции и ее производных в "хорошей" точке.
Поэтому не обращаю внимания на то, что по условию x_(o)=47; y_(o)=28 °
[b]x_(o)=45 ° [/b]
[b]y_(o)=30 °[/b]
f(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy)=f(x_(o);y_(o))+df(x_(o);y_(o))+(1/2!)d^2f(x_(o);y_(o))
f(x_(o);y_(o))=tg45 ° *sin30 ° =1*(1/2)=1/2=[b]0,5[/b]
df(x_(o);y_(o))=f `_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+f `_(y)(x_(o);y_(o))* Δy
f `_(x)(x;y)=(tgx*siny)`_(x)=siny*(1/cos^2x)
f `_(y)(x;y)=(tgx*siny)`_(x)=tgx*cosy
f `_(x)(x_(o);y_(o))=sin30 ° *(1/cos^245 ° )=(1/2)*(1/2)=1/4
f `_(y)(x_(o);y_(o))=tg45 ° *cos30 ° =1*(sqrt(2)/2)=sqrt(2)/2
df(x_(o);y_(o))=f `_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+f `_(y)(x_(o);y_(o))* Δy=[blue][b](1/4)*(π/90)+(sqrt(2)/2)*(-(π/90))[/b][/blue]= считайте
d^2f(x_(o);y_(o))=f ``_(xx)(x_(o);y_(o))*( Δx)^2+2*f ``_(xy)(x_(o);y_(o))* Δx*Δy+f ``_(yy)(x_(o);y_(o))*( Δy)^2
f ``_(xx)(x;y)=(siny*(1/cos^2x))`_(x)=siny(-2*cos^(-3)x)*(cosx)`=2sinxsiny/cos^3x
f ``_(xy)(x;y)=(siny*(1/cos^2x))`_(y)=(1/cos^2x)*cosy=cosy/cos^2x
f ``_(yy)(x;y)=(tgx*cosy)`_(y)=tgx*(-siny)
f ``_(xx)(x_(o);y_(o))=2sin45 ° sin30 ° /cos^345 °= 2
f ``_(xy)(x_(o);y_(o))=cos30 ° /cos^245 ° =sqrt(3)
f ``_(yy)(x_(o);y_(o))=tg45 ° *(-sin30 ° )=-0,5
d^2f(x_(o);y_(o))=2*( π/90)^2+2*sqrt(3)*(π/90)*(-π/90)+(-0,5)*( -(π/90))^2
Тогда
tg47 ° *sin28 ° =[b]0,5[/b]+[blue][b](1/4)*(π/90)+(sqrt(2)/2)*(-(π/90))[/b][/blue]+(1/2)*[b]([/b]2*( π/90)^2+2*sqrt(3)*(π/90)*(-π/90)+(-0,5)*( -(π/90))^2[b])[/b]
