Задача 59856 Найти производную скалярного поля. И...
Условие
И можете объяснить как решается
Решение
[m]\vec{M_{o}M_{1}}[/m]=(-2-1;2-3;1-1)=(-3;-1;0) -это вектор направления[i] l[/i]
[i]Направляющие косинусы [/i]вектора[m]\vec {M_{o}M_{1}}[/m]:
[m]cos α =\frac{-3}{\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+0^2}}=-\frac{3}{\sqrt{10}}[/m]
[m]cos β =\frac{-1}{\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+0^2}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}[/m]
[m]cos γ =\frac{0}{\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+0^2}}=0[/m]
Находим частные производные:
∂u/∂x=(3x^2+x^3y+5x+ln(z+z^3))`_(x)=6x+3x^2y+5
∂u/∂y=(3x^2+x^3y+5x+ln(z+z^3))`_(y)=x^3
∂u/∂z=(3x^2+x^3y+5x+ln(z+z^3))`_(z)=(1+3z^2)/(z+z^3)
Находим значения частных производных в точке M_(o):
(∂u/∂x)(M_(o))=6*1+3*1^2*3+5=20
(∂u/∂y)(M_(o))=1^3=1
(∂u/∂y)(M_(o))=(1+3*1^2)/(1+1^3)=2
Производная по направлению:
∂u/∂l=(∂u/∂x)*cos α + (∂u/∂y)* cosβ+(∂u/∂z)* cos γ
Производная по направлению в точке M_(o):
∂u/∂l_(M_(o))=(∂u/∂x)(M_(o))*cos α + (∂u/∂y)(M_(o))* cosβ +(∂u/∂z)(M_(o))* cos γ =20*([m]-\frac{3}{\sqrt{10}})[/m]+1*[m](-\frac{1}{\sqrt{10}})[/m]+2*0=-[m]\frac{61}{\sqrt{10}}[/m]