Задача 59828 ...
Условие
y"-6y'+9y=9x²-39x+65, y(0)=-1, y'(0)=1.
Решение
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y''-6y'+9y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-6k+9=0
(k-3)^2=0
k_(1,2)=3 - корни действительные кратные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(3x)+C_(2)*[b]x[/b]*e^(3x) - общее решение однородного уравнения
Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:
y_(частное неодн)=Аx^2+Bx+D
y`_(частное неодн) =2Ax+B
y``_(частное неодн)=2A
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
(2A)-6*(2Ax+B)+9*(Аx^2+Bx+D )=9x^2-39x+65
два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты
при одинаковых степенях переменной
9*Аx^2+(9В-12A)*x+(9D -6В+2А)=9x^2-39x+65
9А=9
9B-12A=-39
9D-6B+2A=65
A=1
B=-3
D=5
y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)
- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
y_(общее неодн)=C_(1)e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)+x^2-3x+5
Решение задачи Коши:
y(0)=-1
Подставляем в
y_(общее неодн)=C_(1)e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)+x^2-3x+5
получаем
-1=С_(1)e^(0)+C_(2)*0+5
C_(1)=-6
y`(0)=1
Находим
y`_(общее неодн)=3C_(1)e^(3x)+C_(2)*e^(3x)+3C_(2)*x*e^(3x)+2x-3
Подставляем
x=0
y`=1
1=3C_(1)e^(0)+C_(2)*e^(0)+3C_(2)*0*e^(0)-3
C_(1)=-6
C_(2)=1+18+3
C_(2)=22
y_(общее неодн)=-6*e^(3x)+22*x*e^(3x)+x^2-3x+5 - решение уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям