Задача 59827 5) y"–9y'=0, y(0)=1, y(0)=–1....

60a604733f1bb8747d24dca6

20.05.2021 11:14:21

5)
y"–9y'=0, y(0)=1, y(0)=–1.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.05.2021 13:29:52

★

Это линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9k=0

k*(k-9)=0

k_(1)=0; k_(2)=9 - корни действительные различные ,


поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(0*x)+C_(2)*e^(9*x)

e^(0)=1


y_(общее одн)=C_(1)+C_(2)*e^(9*x) - общее решение однородного уравнения



Решение задачи Коши:

y(0)=1

Подставляем y=1; x=0

1=C_(1)+C_(2)*e^(0)

[b]1=C_(1)+C_(2)[/b]


y`(0)=-1


Находим

y`_(общее одн)=(C_(1)+C_(2)*e^(9*x))`

y`_(общее одн)=0+9*C_(2)*e^(9*x)



Подставляем

x=0; y`=-1


-1=9*C_(2)*e^(0)


С_(2)=-1/9

С_(1)=1-С_(2)=1-(-1/9)

С_(2)=10/9

y`_(одн)=-(1/9)+(10/9)*e^(9*x) решение, удовлетворяющее начальным условиям