Задача 59825 4) а)y''-y'-2y=0 b)y''+9y=0 c)y''+4y'+4y=0 d)y"-2y'+5y=10cos2x...
Условие
а)y''-y'-2y=0
b)y''+9y=0
c)y''+4y'+4y=0
d)y"-2y'+5y=10cos2x
Решение
Это линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-k-2=0
D=1-4*(-2)=9
k_(1)=(1-3)/2=-1; k_(2)=(1+3)/2=2 - корни действительные различные ,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(-x)+C_(2)*e^(2*x)
b)y''+9y=0
Это линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+9=0
k_(1,2)= ± 3i - корни комплексно-сопряженные
α =0
β =1
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=e^(0)*(C_(1)*cosx+C_(2)*sinx)
y_(общее одн=(C_(1)*cosx+C_(2)*sinx
c)y''+4y'+4y=0
Это линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4k+4=0
(k+2)^2=0
k_(1,2)=-2 - корни действительные кратные
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(-2*x)+C_(2)*[b]x[/b]*e^(-2*x)
d)y"–2y'+5y=10cos2x
Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y"–2y'+5y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+5=0
D=(-2)^2-4*5=4-20=-16
k_(1,2)=(2 ± 4i)/2=1± 2i - корни комплексно-сопряженные
α =1
β =2
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=e^(x)*(C_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x)
Правая часть неоднородного уравнения имеет "специальный" вид:
f(x)=10cos2x
α =0
β =2
α ± β i=0 ± 2i не являются корнями характеристического уравнения
поэтому частное решение неоднородного уравнения имеет вид
y_(частное неодн)=A*cos2x+B*sin2x
Находим
y`_(частное неодн)=-2A*sin2x+2B*cos2x
y``_(частное неодн)=-4A*cos2x-4B*sin2x
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
-4A*cos2x-4B*sin2x- 2*(-2A*sin2x+2B*cos2x)+5*(A*cos2x+B*sin2x)=10*sin2x
-4A*cos2x[u]-4B*sin2x[/u]+[b]4A*sin2x[/b]-4B*cos2x+5*A*cos2x+[b]5*B*sin2x[/b]=10*sin2x
([b]4*A+B[/b])*sin2x+(A-4*B)*cos2x=[b]10[/b]*sin2x + 0*cos2x
{4*A+B=10
{A-4B=0 ⇒ A=4B и подставляем в первое
4*(4B)+B=10
17B=10
B=10/17
A=4*(10/17)
A=40/17
y_(частное неодн)=[blue](40/17)*cos2x+(10/17)*sin2x[/blue]
О т в е т. y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(частное неодн)=
=e^(x)*(C_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x) +[blue](40/17)*cos2x+(10/17)*sin2x[/blue]