Задача 59824 Помогите пожалуйста...
Условие
Решение
[m]y`=\frac{y^2-4xy}{2x^2-2xy+y^2}[/m]
[m]y`=\frac{(\frac{y}{x})^2-4\cdot \frac{y}{x}}{2-2\cdot \frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2}[/m]
[m]\frac{y}{x}=u[/m]
[m]y=x\cdot u[/m]
[m]y`=x`\cdot u+x\cdot u`[/m]
x`=1, так как х - независимая переменная
[m]y`= u+x\cdot u`[/m]
Уравнение принимает вид:
[m] u+x\cdot u`=\frac{u^2-4u}{2-2\cdot u+u^2}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными
[m] x\cdot u`=\frac{u^2-4u}{2-2\cdot u+u^2}-u[/m]
[m] x\cdot u`=\frac{3u^2-6u-u^3}{2-2\cdot u+u^2}[/m]
[m] \frac{2-2\cdot u+u^2}{3u^2-6u-u^3}du=\frac {dx}{x}[/m]
[m] ∫ \frac{2-2\cdot u+u^2}{3u^2-6u-u^3}du= ∫ \frac {dx}{x}[/m]
Интеграл от дроби.
Знаменатель на множители:
u^3-3u^2+6u=u*(u^2-3u+6)
Дробь на простейшие:
[m] - \frac{2-2\cdot u+u^2}{u^3-3u^2+6u}du= \frac {A}{u}+\frac{Mu+N}{u^2-3u+6}[/m]
[m]-(2-2u+u^2)=A\cdot (u^2-3u+6)+(Mu+N)\cdot u[/m]
[m]A+M=-1[/m]
[m]-3A+N=2[/m]
[m]6A=-2[/m]