Задача 59823 Помогите пожалуйста...

5fbd576964081d1dafcb1af2

20.05.2021 09:57:13

Помогите пожалуйста

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.05.2021 10:09:41

★

Это однородное уравнение:

dy/dx=y`

x^2y=(x^3+y^3)*y`

y`=(x^2y)/(x^3+y^3)


y`= φ ((y/x))

Решается заменой:

y/x=u

y=x*u

y`=u+x*u` ( x`=1; x - независимая)


u+x*u` =u/(1+u^3)

[b]u[/b]+u^4+x*u`+x*u^3*u`=[b]u[/b]

u^4+x*u`+x*u^3*u`=0

x*(1+u^3)*u`=-u^4-уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

x*(1+u^3)*dx=-u^4du

x*dx=-(u^4)/(1+u^3)du

∫ x*dx=- ∫ (u^4)/(1+u^3)du

Справа неправильная дробь.

(u^4)/(1+u^3)=u - (u/(1+u^3))

Выделяем целую часть:

(u^4)/(1+u^3)=u - (u/(1+u^3))

Раскладываем на простейшие

u/(1+u^3)=A/(1+u)+ (Mu+N)/(u^2-u+1)

Находим коэффициенты:

A
M
N

Здесь работы минут на 20-30

И тогда

∫ x*dx=- ∫ (u -A/(1+u)- (Mu+N)/(u^2-u+1))du