Задача 59815 Проинтегрировать ДУ и найти интегральную...

60044b69960c3c35933dfafa

19.05.2021 20:37:20

Проинтегрировать ДУ и найти интегральную кривую (частное решение), проходящую через точку М0(x0, y0).
(Буду признателен )

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.05.2021 10:44:56

★

Это однородное уравнение, так как его можно представить в виде:

y`= φ (y/x)



так как [m]y`=\frac{dy}{dx}, то

[m](\sqrt{xy}-y)\cdot y`=-y[/m]

Делим на y:


[m]y`\cdot (\sqrt{\frac{y}{x}}-1)=-1[/m]

[m]y`=\frac{1}{1-\sqrt{\frac{y}{x}}}[/m]


Замена


[m]\frac{y}{x}=u[/m]

[m]y=x\cdot u[/m]


[m]y`=x`\cdot u+x\cdot u`[/m]


x`=1, так как х - независимая переменная

[m]y`= u+x\cdot u`[/m]


Уравнение принимает вид:

[m] u+x\cdot u`=\frac{1}{1-\sqrt{u}}[/m]

[m] x\cdot u`=\frac{1}{1-\sqrt{u}}-u[/m]


[m] x\cdot u`=\frac{1-u+u\sqrt{u}}{1-\sqrt{u}}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными


[m] \frac{1-\sqrt{u}}{1-u+u\sqrt{u}}du=\frac{dx}{x}[/m]


[m] ∫ \frac{1-\sqrt{u}}{1-u+u\sqrt{u}}du= ∫ \frac{dx}{x}[/m]


[m] 1^3+(\sqrt{u})^3=(1+\sqrt{u})\cdot (1-u+u\sqrt{u})[/m]


[m] ∫ \frac{(1-\sqrt{u})\cdot (1+\sqrt{u})}{1^3+(\sqrt{u})^3}du=\frac{dx}{x}[/m]


[m] ∫ \frac{1-u}{1^3+(\sqrt{u})^3}du=\frac{dx}{x}[/m]