Задача 59731 y''+2y'=-2(sin(x)+cos(x))*e^(x) И еще...
Условие
И еще одно, заранее спасибо
Решение
Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y``+2y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+2k=0
k*(k+2)=0
k_(1)=0; k_(2)=-2 - корни действительные РАЗЛИЧНЫЕ.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y=C_(1)*e^(k_(1))x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
[b]y_(общее одн)= C_(1) e^(0x)+C_(2)*e^(-2x)[/b]
[b]y_(общее одн)= C_(1) +C_(2)*e^(-2x)[/b] - общее решение однородного.
Правая часть неоднородного уравнения имеет "специальный" вид:
f(x)=2(sin(x)+cos(x))·e^(x)
e^(x) ⇒ α =1
sin(x)+cos(x) ⇒ β =1
k= α ± β*i не является корнем характеристического уравнения, поэтому
частное решение неоднородного
y_(частное неодн)=(Asinx+Bcosx)*e^(x)
y`_(частное неодн)=(Acosx-Bsinx)*e^(x) +(Asinx+Bcosx)*e^(x) =(Acosx-Bsinx+Asinx+Bcosx)*e^(x)
y``_(частное неодн)=(-Asinx-Bcosx+Acosx-Bsinx)*e^(x)+(Acosx-Bsinx+Asinx+Bcosx)*e^(x)=
=(2Acosx-2Bsinx)*e^(x)
Подставляем в данное уравнение:
(2Acosx-2Bsinx)*e^(x)+2*(Acosx-Bsinx+Asinx+Bcosx)*e^(x)=2*(sinx+cosx)*e^(x)
2Acosx-2Bsinx+2Acosx-2Bsinx+2Asinx+2Bcosx=2sinx+2cosx
(2A-4B)*sinx+(4A+2B)*cosx=2sinx+2cosx
2A-4B=2
4A+2B=2
2A-4B=2
8A+4B=4
10A=6
A=0,6
B=-0,2
[b]y_(частное неодн)=(0,6sinx-0,2cosx)*e^(x) [/b]
[b]y_(общее неодн)= y_(общее одн)+y_(частное неодн)=C_(1) +C_(2)*e^(-2x)+(0,6sinx-0,2cosx)*e^(x)[/b] - О т в е т.