Задача 59730 Дифференциал...

609fadf6948cd266b38f08f3

15.05.2021 20:00:16

Дифференциал y'''-y''-y'+y=(3x+7)e^(2x)
Если кто-то решит буду очень очень благодарен

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.05.2021 21:28:21

★

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами.

y'''–y''–y'+y==0

Составляем характеристическое уравнение:
k^3-k^2-k+1=0

(k^3+1)-(k^2+k)=0
(k+1)*(k^2-k+1-k)=0
(k+1)*(k-1)62=0

k_(1)=-1 и k_(2,3)=1 - корни действительные равные


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y=C_(1)*e^(k_(1))x)+C_(2)*e^(k_(2)x)+С_(3)*x*e^(k_(2)x)

[b]y_(общее одн)= C_(1) e^(-x)+C_(2)*e^(x)+С_(3)*x*e^(x)[/b] - общее решение однородного.


Правая часть неоднородного уравнения имеет "специальный" вид:

f(x)=(3x+7)e^(2x)

k=2 не является корнем характеристического уравнения, поэтому

частное решение неоднородного

y_(частное неодн)=(Ax+B)*e^(2x)

y`_(частное неодн)=A*e^(2x)+2(Ax+B)*e^(2x)=(2Ax+2B+A) *e^(2x)

y``_(частное неодн)=2A*e^(2x)+2(2Ax+2B+A) *e^(2x)=(4Ax+4B+4A)*e^(2x)

y```_(частное неодн)=4A*e^(2x)+2(4Ax+4B+4A) *e^(2x)=(8Ax+8B+12A)*e^(2x)


Подставляем в данное уравнение:

(8Ax+8B+12A)*e^(2x)-(4Ax+4B+4A)*e^(2x)-(2Ax+2B+A) *e^(2x)+(Ax+B)*e^(2x) =(3x+7)e^(2x)

8Ax+8B+12A-4Ax-4B-4A-2Ax-2B-A-Ax-B=3x+7

8A-4A-2A-A=3 ⇒ А=3
8B+12A-4B-4A-2B-A-B=7 ⇒B+7A=7 ⇒B=-14



[b]y_(частное неодн)=(3x-14)*e^(2x) [/b]


[b]y_(общее неодн)= y_(общее одн)+y_(частное неодн)=C_(1) e^(-x)+C_(2)*e^(x)+С_(3)*x*e^(x)+(3x-14)*e^(2x)[/b] - О т в е т.