Задача 59719 Изобразить область интегрирования S и...
Условие
Решение
[m]r^2=R^2[/m] или [m]r=R[/m], так как
x=rcos φ
y=rsin φ
x^2=r^2cos^2 φ
y^2=r^2sin^2 φ
x^2+y^2=r^2cos^2 φ +r^2sin^2 φ=r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ)=r^2*1
[m] x^2+y^2=R^2[/m] ⇒ [m]r^2=R^2[/m]
[m]r=R[/m]
[m]S: r ≤ \frac{1}{4}[/m] - круг с центром (0;0) и радиусом [m]R=\frac{1}{4}[/m]
В полярных координатах
[m]0 ≤ r ≤ \frac{1}{4}[/m]
[m]0 ≤ φ ≤ 2π[/m]
[m]∫ ∫ _{S}3\sqrt{r}drd φ =3\cdot ∫ _{0}^{2π}( ∫_{0} ^{\frac{1}{4}}\sqrt{r}dr)d φ =[/m]
[m]=3 \cdot∫ _{0}^{2π}( ∫ _{0} ^{\frac{1}{4}}r^{\frac{1}{2}}dr)d φ=[/m]
[m]=3 \cdot∫ _{0}^{2π}(\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1})|_{0} ^{\frac{1}{4}}d φ=[/m]
[m]=3\cdot ∫ _{0}^{2π} (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}})|_{0} ^{\frac{1}{4}}d φ=[/m]
[m]=3\cdot\frac{1}{\frac{3}{2}} ∫ _{0}^{2π} ((\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}})d φ =[/m]
[m]=3\cdot\frac{1}{\frac{3}{2}} ∫ _{0}^{2π}(\frac{1}{2})^{3}d φ =[/m]
[m]=2\cdot\frac{1}{8}( φ )|_{0}^{2π}=\frac{π}{2}[/m]