Задача 59711 Записать ожидаемый вид частного решения...
Условие
Решение
Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y''+2y'+5y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+2k+5=0
D=4-20=-16
k_(1)=-1-2i и k_(2)=-1+2i - корни комплексные:
α =-1;
β=2
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=e^(-x)(C_(1)сos2x+C_(2)sin2x) - общее решение однородного уравнения
Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид:
[m]f(x)=-17e^{x}\cdot sin2x[/m]
α =1;
β=2
1+2i; 1-2i не являются корнями характеристического уравнения,
поэтому частное решение имеет вид:
y_(частное неодн)=e^(x)(Acos2x+Bsin2x)
y`_(частное неодн) =e^(x)*(Acos2x+Bsin2x) +e^(x)*(-2Asin2x+2Bcos2x) =e^(x)*( Acos2x+Bsin2x-2Asin2x+2Bcos2x)
y``_(частное неодн)=e^(x)*( Acos2x+Bsin2x-2Asin2x+2Bcos2x)+e^(x)*( -2Asin2x+2Bcos2x-4Acos2x-4Bsin2x)=
=e^(x)*( Acos2x+Bsin2x-2Asin2x+2Bcos2x -2Asin2x+2Bcos2x-4Acos2x-4Bsin2x)=
=e^(x)*( -4Asin2x+4Bcos2x-3Acos2x-3Bsin2x)=
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
e^(x)*( -4Asin2x+4Bcos2x-3Acos2x-3Bsin2x)+2*e^(x)*( Acos2x+Bsin2x-2Asin2x+2Bcos2x)+5*e^(x)(Acos2x+Bsin2x) =-17e^(x)sin2x
-4Asin2x+4Bcos2x-3Acos2x-3Bsin2x+2( Acos2x+Bsin2x-2Asin2x+2Bcos2x)+5*(Acos2x+Bsin2x) =-17e^(x)sin2x
Находим неизвестные А и В
y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)
- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
y_(общее неодн)=e^(-x)(C_(1)сos2x+C_(2)sin2x) +...