Задача 59710 Дифференциальные уравнения 2 порядка со...
Условие
Решение
Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y``-y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-1=0
k_(1)=-1; k_(2)=1 - корни действительные РАЗЛИЧНЫЕ.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y=C_(1)*e^(k_(1))x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
[b]y_(общее одн)= C_(1) e^(-x)+C_(2)*e^(x)[/b] - общее решение однородного.
Правая часть неоднородного уравнения имеет "специальный" вид:
f(x)=e^(2x)
k=2 не является корнем характеристического уравнения, поэтому
частное решение неоднородного
y_(частное неодн)=Ae^(2x)
y`_(частное неодн)=2Ae^(2x)
y``_(частное неодн)=4Ae^(2x)
Подставляем в данное уравнение:
4Ae^(2x) -Ae^(2x)=e^(2x)
3А=1
A=1/3
[b]y_(частное неодн)=(1/3)*e^(2x) [/b]
[b]y_(общее неодн)= y_(общее одн)+y_(частное неодн)= C_(1) e^(-x)+C_(2)*e^(x)+(1/3)*e^(2x)[/b] - О т в е т.
Задача Коши:
y(0)=1
y`(0)=2
[b] C_(1) e^(0)+C_(2)*e^(0)+(1/3)*e^(0)=1[/b]
y`=(C_(1) e^(-x)+C_(2)*e^(x)+(1/3)*e^(2x))`
y`=-C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(x)+(2/3)*e^(2x)
[b]-C_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0)+(2/3)*e^(0)=2[/b]
Из системы:
{[b] C_(1) +C_(2)+(1/3)=1[/b]
{[b]-C_(1)+C_(2)+(2/3)=2[/b]
Складываем и
находим C_(2)=1
C_(1)=(-1/3)
Ответ к задаче Коши:
[b]y=(-1/3) e^(-x)+e^(x)+(1/3)*e^(2x)[/b]