Задача 59673 Решить неравенство...

609a08d5948cd266b38edd15

11.05.2021 07:39:57

Решить неравенство log4x(2x)–log2x^2(4x^2)>=–3/2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.05.2021 08:57:07

★

ОДЗ:
{4x>0 ⇒ x ≠ 0
{4x ≠ 1 ⇒ x ≠ [m]\frac{1}{4}[/m]
{2x>0 ⇒ x>0
{2x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{2x^2 ≠ 1 ≠ x ≠ [m]\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
{4x^2>0 ⇒ x ≠ 0

[m]x ∈ (0; \frac{1}{4})\cup(\frac{1}{4};\frac{1}{\sqrt{2}})\cup(\frac{1}{\sqrt{2}};+ ∞ )[/m]

Переход к другому основанию:

[m]\frac{log_{2}2x}{log_{2}4x}-\frac{log_{2}4x^2}{log_{2}2x^2} ≥ -\frac{3}{2}[/m]

Применяем свойства логарифма

[m]\frac{log_{2}2+log_{2}x}{log_{2}4+log_{2}x}-\frac{log_{2}4+log_{2}x^2}{log_{2}2+log_{2}x^2} ≥ -\frac{3}{2}[/m]

В условиях ОДЗ:

[m]log_{2}x^2=2log_{2}|x|=(x>0 ⇒ |x|-x)=log_{2}x[/m]

[m]\frac{log_{2}2+log_{2}x}{log_{2}4+log_{2}x}-\frac{log_{2}4+2log_{2}x}{log_{2}2+2log_{2}x} ≥ -\frac{3}{2}[/m]

[m]\frac{1+log_{2}x}{2+log_{2}x}-\frac{2+2log_{2}x}{1+2log_{2}x} ≥ -\frac{3}{2}[/m]

[i]Замена переменной:[/i]

[m]log_{2}x=t[/m]

[m]\frac{1+t}{2+t}-\frac{2+2t}{1+2t} ≥ -\frac{3}{2}[/m] - дробно- рациональное неравенство

Решаем методом интервалов

О т в е т с учетом ОДЗ