Задача 59667 Решить систему уравнений и найти частные...
Условие
удовлетворяют приведенным начальным условиям. 
Решение
[m]\left\{\begin{matrix}
x`(t)=y+ e^{t}\\y`(t)=4x+2e^{t} \end{matrix}\right.[/m]
Выразим из первого уравнения [m]y[/m] и подставим во второе уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix}
y=x`(t)- e^{t}\\(x`(t)- e^{t})`=4x+2e^{t}\end{matrix}\right.[/m]
Решаем второе уравнение:
[m]x`-4x=3 e^{t}[/m]
это линейное [i]неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
[/i]
Решаем однородное уравнение:
[m]x`-4x=0[/m]
Cоставляем характеристическое уравнение:
[m]k^2-4=0[/m]
[m]k_{1}=-2[/m] или [m]k_{2}=2[/m] - корни действительные различные
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
x_(общее однород)=[m]C_{1}e^{-2t} +C_{2}e^{2t}[/m]
Правая часть f(t)=3 e^{t}
Находим частное решение в виде:
x_(частное )=[m]A e^{t}[/m]
x`_(частное )=[m]A e^{t})`=A e^{t}[/m]
x``_(частное )=[m](A e^{t})``=Ae^{t}[/m]
и подставляем в неоднородное уравнение
[m]x``-4x=3 e^{t}[/m]
[m]Ae^{t}-4A e^{t}=3 e^{t}[/m]
[m]-3Ae^{t}=3e^{t}[/m]
находим A:
-3A=3 ⇒ A=-1
x_(общее неоднородного)=y_(общее однородного)+y_(частное)=
[m]C_{1}e^{-2t} +C_{2}e^{2t}-e^{t}[/m]
Находим
y_(общее)=[m]x`(t)- e^{t}=(C_{1}e^{-2t} +C_{2}e^{2t}-e^{t})`- e^{t}=-2C_{1}e^{-2t} +2C_{2}e^{2t}-2e^{t}[/m]
y_(общее)=[m]-2C_{1}e^{-2t} +2C_{2}e^{2t}-2e^{t}[/m]
Итак, общее решение системы:
[m]\left\{\begin{matrix}
x(t)=C_{1}e^{-2t} +C_{2}e^{2t}-e^{t}\\y(t)=-2C_{1}e^{-2t} +2C_{2}e^{2t}-2e^{t}\end{matrix}\right.[/m]
Начальные условия:
x(0)=0
y(0)=0
приводят к системе
[m]\left\{\begin{matrix}x(0)=C_{1}e^{0} +2C_{2}e^{0}- e^{0}\\y(0)=-2C_{1}e^{0} +2C_{2}e^{0}-2e^{0x}\end{matrix}\right.[/m]
из которой найдем C_(1) и С_(2)
[m]\left\{\begin{matrix}0=C_{1} +2C_{2}- 1\\0=-2C_{1} +2C_{2}-2\end{matrix}\right.[/m]