Задача 59632 Решите задание под буквами а,б,в,г. С...
Условие
Решение
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то
[m]∫ ^{+ ∞ }_{- ∞}f(x)dx=∫_{- ∞} ^{-1 }0dx+∫_{-1} ^{1 }cx^6dx+∫_{1} ^{+ ∞ }0dx=0+c∫_{-1} ^{1} x^6dx+0=c\cdot \frac{x^7}{7}|^{1 }_{-1}=c\cdot (\frac{1}{7}-\frac{(-1)}{7})=c\cdot \frac{2}{7}[/m]
[m]c\cdot \frac{2}{7}=1[/m]
[m]c=\frac{7}{2}[/m]
По определению:
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
[b]При x ≤-1[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
[b]При -1 < x ≤ 1[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{-1}_{- ∞ }0dx+∫ ^{x}_{-1}\frac{7}{2}x^6dx=\frac{7}{2}\cdot (\frac{x^7}{7})|^{x}_{-1}=\frac{x^7}{2}+\frac{1}{2}[/m]
При x > 1
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{-1}_{- ∞ }0dx+∫ ^{1}_{-1}\frac{7}{2}x^6dx+∫ ^{x}_{1}0dx=1[/m]
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, x ≤-12\\\frac{x^7}{2}+\frac{1}{2}, -1 < x ≤1\\1, x > 1 \end {matrix}\right.[/m]
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{1}_{-1}\frac{7}{2}x\cdot x^6dx=\frac{7}{2} ∫ ^{1}_{-1}x^7dx=\frac{7}{2}\cdot \frac{x^{8}}{8}| ^{1}_{-1}=0[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]
Считаем
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{4}_{2}\frac{3}{2}x^2\cdot x^6dx=\frac{7}{2} ∫ ^{1}_{-1}x^8dx=\frac{7}{2}\cdot \frac{x^{9}}{9}| ^{1}_{-1}=\frac{7}{9}[/m]
Тогда
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]
По формуле:
[m]P( α ≤ x ≤ β )=F( β )-F( α )[/m]
получаем:
[m]P( -5 ≤ x ≤0 )=F(0 )-F(-5)=\frac{0^7}{2}+\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}[/m]
0 ∈ (-1;1)
[m]F(x)=\frac{x^7}{2}+\frac{1}{2}[/m]
⇒
[m]F(0)=\frac{0^7}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/m]
0 ∈(- ∞;-1)
[m]F(x)=0[/m]
⇒
[m]F(-5)=0[/m]
