Задача 59413 ...

6048fc0dc87bcc1c7d524728

23.04.2021 22:15:22

Нужно найти общее решение дифференциального уравнения [m]y'''−9y′=−27x^2+18x−3[/m]
(Если можно, решение и ответ дать точно, без лишнего. Скрины с онлайн калькуляторов пожалуйста не скидывайте)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.04.2021 23:25:54

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y′′′−9y'=0


Составляем характеристическое уравнение:
k^3-9k=0
k(k-3)(k+3)=0
k1=0; k2=3;k_(3)=-3– корни действительные, различные

Значит

общее решение однородного имеет вид:

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(0x)+C_(2)*e^(3x)+C_(3)*e^(-3x)

y_(общее одн.)=С_(1)+C_(2)*e^(3x)+C_(3)*e^(-3x)


f(x)=−27x^2+18x−3

Так как k=0 - корень характеристического уравнения,

частное решение неоднородного уравнения находим в виде:

y_(част)=(Ax^2+Bx+D)*x,




Находим производную первого, второго, третьего порядка

y`_(част)=(Ax^3+Bx^2+Dx)`=3Ax^2+2Bx+D

y``_(част)=(3Ax^2+2Bx+D)`=6Ax+2B

y```_(част)=(6Ax+2B)`=6A

Подставляем в данное уравнение:

6A−9*(3Ax^2+2Bx+D)=−27x^2+18x−3

-27Ax^2-18Bx+(6A-9D)=−27x^2+18x−3

-27A=-27
A=1

-18B=18
B=-1

6A-D=-3
D=-3-6A=-3-6=-9

Ответ :
у_(общее неодн)=y_(общее одн.)+y_(част)=

= [b]С_(1)+C_(2)*e^(3x)+C_(3)*e^(-3x)+x^3-x^2-9x[/b]