Задача 59411 Нужно найти решение задачи Коши...

6048fc0dc87bcc1c7d524728

23.04.2021 22:09:40

Нужно найти решение задачи Коши [m]y''=8sin^3 y cos y, y(1)= pi/2, y'(1)=2[/m]
(Если можно, решение и ответ дать точно, без лишнего. Скрины с онлайн калькуляторов пожалуйста не скидывайте)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

24.04.2021 13:32:45

★

Уравнение вида F(y; y`;y``)=0 не содержит переменную х в явном виде. Решают заменой:

y`=p(y)

Тогда y``=[m]\frac{d(y`)}{dx}=\frac{dp}{dx}=[/m] как производная сложной функции

[m]=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot y`=p(y)\cdot \frac{dp}{dy}[/m]


Уравнение принимает вид:

[m]p(y)\cdot \frac{dp}{dy}=8sin^3y\cdot cosy[/m] ⇒ [m]p(y)dp=8sin^3ycosydy[/m] ⇒

[m] ∫ p(y)dp= ∫ 8sin^3y \cdot cosydy[/m]


[m]\frac{p^2(y)}{2}=∫ 8sin^3yd(siny)[/m] табличный интеграл ∫ 8u^3du=8*(u^4/4)=2u^4

[m]\frac{p^2(y)}{2}=2sin^4y+С[/m] ⇒


[m]p^2(y)=4sin^4y+C_{1}[/m] C_(1)=2C

[m]p(y)=\sqrt{4sin^4y+C_{1}}[/m]


так как
y`=p(y)


Значит

[m]y`=\sqrt{4sin^4y+C_{1}}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными



[m]y`=\frac{dy}{dx}[/m]

[m]dy=\sqrt{4sin^4y+C_{1}}[/m]


[m]\frac{dy}{\sqrt{4sin^4y+C_{1}}}=dx[/m]

[m] ∫ \frac{dy}{\sqrt{(2sin^2y)^2+C_{1}}}= ∫ dx[/m]

Если так, то проблема в вычислении интеграла...