Задача 59405 cos x=(cos x/2-sin x/2)^2-1 [pi/2;2pi]...
Условие
Решение
[m](cos \frac{x}{2}-sin \frac{x}{2})^2=cos^2 \frac{x}{2}-2cos \frac{x}{2}\cdot sin \frac{x}{2}+sin^2 \frac{x}{2}[/m]
и
[m]1=cos^2 \frac{x}{2}+sin^2 \frac{x}{2}[/m]
Тогда уравнение можно записать в виде:
[m]cosx=cos^2 \frac{x}{2}-2cos \frac{x}{2}\cdot sin \frac{x}{2}+sin^2 \frac{x}{2}–cos^2 \frac{x}{2}-sin^2 \frac{x}{2}[/m]
[m]cosx=2cos \frac{x}{2}\cdot sin \frac{x}{2}[/m]
Так как
[m]2cos \frac{x}{2}\cdot sin \frac{x}{2}=sinx[/m]
получаем уравнение:
[m]cosx=sinx[/m]
Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка.
Решают делением на cosx ≠ 0 ( или на sinx ≠ 0)
tgx=1
x=[b](π/4)+πk, k ∈ Z[/b]
Отбор корней на единичной окружности.
Указанному отрезку принадлежит корень
x=(π/4)+π=(5π/4)