Задача 59404 Нужно найти общее решение...

6048fc0dc87bcc1c7d524728

23.04.2021 18:41:00

Нужно найти общее решение дифференциального уравнения [m]y''+9y=-48sin5x-32cos5x[/m]
(Если можно, решение и ответ дать точно, без лишнего. Скрины с онлайн калькуляторов пожалуйста не скидывайте)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.04.2021 20:17:23

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y′′+9y=0


Составляем характеристическое уравнение:
k^2+9=0

k1=-3i; k2=3i– корни комплексные

α =0; β =3,

значит

общее решение однородного имеет вид:

y_(обще одн.)=С_(1)*cos3x+C_(2)*sin3x

( см. таблицу)

f(x)=−48sin5x−32cos5x

Частное решение неоднородного уравнения находим в виде:
y_(част)=Asin5x+Bcos5x


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=5Acos5x-5Bsin5x

y``_(част)=-25Asin5x-25Bcos5x


подставляем в данное неоднородное уравнение:

-25Asin5x-25Bcos5x+9Asin5x+9Bcos5x=−48sin5x−32cos5x

-16А=-48
-16В=-32

A=3
B=2



О т в е т.

у_(общее неодн.)=y_(общее одн.)+y_(част)=

= [b]С_(1)*cos3x+C_(2)*sin3x+3sin5x+2cos5x[/b]