Задача 59403 Нужно найти общее решение...

6048fc0dc87bcc1c7d524728

23.04.2021 18:32:04

Нужно найти общее решение дифференциального уравнения [m]y''+10y'+25y=2e^(-5x)[/m] (-5x в степени 2e, то-есть =2e^(-5x))
(Если можно, решение и ответ дать точно, без лишнего. Скрины с онлайн калькуляторов пожалуйста не скидывайте)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.04.2021 20:20:55

★

y′′+10y′+25y=2e^(−5x)

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:

y′′+10y′+25y=0


Составляем характеристическое уравнение:
k^2+10y+25=0

k_(1)=k_(2)=-5 корни действительные кратные



общее решение однородного имеет вид:
y_(общее одн.)=С_(1)*e^(-5x)+C_(2)*x*e^(-5x)

( см. таблицу)

f(x)=2e^(−5x)

Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=A*x^2*e^(-5x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=2Ax*e^(-5x)+Ax^2*e^(-5x)*(-5)=e^(-5x)*(2Ax-5Ax^2)


y``_(част)=e^(-5x)*(-5)*(2Ax-5Ax^2)+e^(-5x)*(2A-10Ax)=e^(-5x)*(25Ax^2-20Ax+2A)

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

y′′+10y′+25y=2e^(−5x)

e^(-5x)*(25Ax^2-20Ax+2A+10*(2Ax-5Ax^2)+25*A*x^2)=2e^(−5x)

25Ax^2-20Ax+2A+20Ax-50Ax^2+25*A*x^2=2

2A=2


О т в е т. y_(общее неодн)=y_(общее одн.)+y_(част)=С_(1)*e^(-5x)+C_(2)*x*e^(-5x)+x^2*e^(-5x)