Задача 59193 Нужно найти общий интеграл...
Условие
Во вложении есть решение, пожалуйста распишите все в правильном порядке, и без лишних слов 
Решение
[m]P(x;y)=xe^{x}+\frac{y}{x^2}[/m]; [m]Q(x;y)=-\frac{1}{x}[/m].
Найдем:
[m]\frac{ ∂ P}{ ∂y} =(xe^{x}+\frac{y}{x^2})`_{y}=(xe^{x})`_{y}+(\frac{y}{x^2})`_{y}=0+\frac{1}{x^2}\cdot (y`)`_{y}=0+\frac{1}{x^2}\cdot 1=\frac{1}{x^2}[/m]
[m]\frac{ ∂ Q}{ ∂x}=(-\frac{1}{x})`-{x}=-1\cdot (x^{-1})`_{x}=-1\cdot (-1)\cdot x^{-2}=\frac{1}{x^2}[/m]
[m]\frac{ ∂ P}{ ∂y}=\frac{ ∂ Q}{ ∂x}[/m] ⇒
данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах ( cм определение в скрине...)
Значит, левая часть уравнения дифференциал какой-то функции u=u(x;y)
[m]P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y)[/m]
[m]du(x;y)=0[/m]
Так как [m]du(x;y)=\frac{∂ u}{ ∂ x}dx+\frac{∂ u}{ ∂ y}dy[/m]
то
[m]\frac{∂ u}{ ∂ x}=P(x;y) [/m]
[m]\frac{∂ u}{ ∂ y}=Q(x;y)[/m]
[m]\frac{∂ u}{ ∂ x}=P(x;y) [/m] ⇒ [m]u(x;y)= ∫ P(x;y) dx= ∫ (xe^{x}+\frac{y}{x^2})dx=∫xe^{x}dx +∫ \frac{y}{x^2}dx=[/m]
[m]=x\cdot e^{x}-∫e^{x}dx+y\cdot(-\frac{1}{x}=x\cdot e^{x}-e^{x}-\frac{y}{x} + φ (y)[/m]
Итак
[m]u(x;y)=x\cdot e^{x}-e^{x}-\frac{y}{x} + φ (y)[/m]
Находим производную:
[m]\frac{∂ u}{ ∂ y}=(x\cdot e^{x}-e^{x}-\frac{y}{x}+C(y))`_{y}=0-\frac{1}{x}\cdot (y)`_{y}+C`(y)=-\frac{1}{x}+φ`(y)[/m]
Так как
[m]\frac{∂ u}{ ∂ y}=Q(x;y)[/m]
[m]-\frac{1}{x}+C`(y)=-\frac{1}{x}[/m]
то
[m]φ` (y)=0[/m]
Тогда
[m] φ (y)=C [/m]
О т в е т.
[m]u(x;y)=x\cdot e^{x}-e^{x}-\frac{y}{x} +C[/m]