Задача 59180 Нужно найти решение задачи Коши...

6048fc0dc87bcc1c7d524728

10.04.2021 19:44:07

Нужно найти решение задачи Коши [m]y'-\frac{2xy}{1+x^2}=1+x^2, y(1)=3[/m]
Во вложении есть решение, пожалуйста распишите все в правильном порядке, и без лишних слов

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.04.2021 23:30:51

★

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-[m]\frac{2x}{1+x^2}[/m]*u*v=1+x^2

u`*v+(u*v`-[m]\frac{2x}{1+x^2}[/m]*u*v)=1+x^2

u`*v+u*(v`-[m]\frac{2x}{1+x^2}[/m]*v)=1+x^2

пусть

(v`-[m]\frac{2x}{1+x^2}[/m]*v)=0

тогда

u`*v=1+x^2


Решаем первое уравнение:

v`-[m]\frac{2x}{1+x^2}[/m]*v=0

v`=dv/dx

(dv/dx)-[m]\frac{2x}{1+x^2}[/m]*v=0 - это уравнение с разделяющимися переменными

dv/v=[m]\frac{2x}{1+x^2}[/m]dx

∫ dv/v= ∫ [m]\frac{2x}{1+x^2}[/m]dx

ln|v|=ln|1+x^2|

[b]v=1+x^2[/b]

Решаем второе
u`*v=1+x^2

u`*(1+x^2)=1+x^2

u`=1

u= ∫ 1dx=x+C


y=u*v

y=(x+C)*(1+x^2) - общее решение


y(1)=3

3=(1+C)(1+1^2)

3=(1+C)*2

1+C=(3/2)

C=(3/2)-1

C=1/2

y=(x+(1/2))*(1+x^2) - частное решение