Задача 59179 Нужно найти общий интеграл...

6048fc0dc87bcc1c7d524728

10.04.2021 19:41:21

Нужно найти общий интеграл дифференциального уравнения. [m]2y'=\frac{y^2}{x^2}+8\frac{y}{x}+8[/m]
Во вложении есть решение, пожалуйста распишите все в правильном порядке, и без лишних слов

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.04.2021 23:42:08

★

[m]\frac{y}{x}=u[/m]

[m]y=x\cdot u[/m]

[m]y`=x`\cdot u+x\cdot u`[/m]

x`=1( так как х независимая переменная)



[m]2\cdot (u+x\cdot u`)=u^2+8u+8[/m]

[m]2\cdot u+2\cdot x\cdot u`=u^2+8u+8[/m]

[m]2\cdot x\cdot u`=u^2+6u+8[/m]

[m]u`=\frac{du}{dx}[/m]

[m]2\cdot x\cdot\frac{du}{dx}=u^2+6u+8[/m]

[m]2\cdot x\cdot du=(u^2+6u+8)dx[/m]

[m]\frac{2du}{u^2+6u+8}=\frac{dx}{x}[/m]

[m] ∫ \frac{2du}{u^2+6u+8}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]

[m] ∫ \frac{2du}{u^2+6u+9-1}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]

[m] ∫ \frac{2du}{(u+3)^2-1}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]


[m]2\cdot \frac{1}{2}ln |\frac{u+3-1}{u+3+1}|=ln|x|+lnC[/m]


[m]ln |\frac{u+2}{u+4}|=ln|x|+lnC[/m]


[m]ln |\frac{\frac{y}{x}+2}{\frac{y}{x}+4}|=lnC|x|+lnC[/m]


[m]ln |\frac{\frac{y+2x}{x}}{\frac{y+4x}{x}}|=lnC|x|[/m]


[m]ln |\frac{y+2x}{y+4x}|=lnC|x|[/m]

[m]\frac{y+2x}{y+4x}=Cx[/m]