Задача 59174 Помогите с заданием...
Условие
Решение
Значит поле u=u(x;y;z) - функция трех переменных
Найти не [m]gradz[/m], a [m]gradu[/m]
1)
Вектор
[m]gradu= \frac{∂u}{∂x}\vec{i} + \frac{∂u}{∂y}\vec{j} + \frac{∂u}{∂x}\vec{k} [/m]
Найдем:
[m] \frac{∂u}{∂x}=(x^2+y^2+z^2)`_{x}=2x[/m]
[m] \frac{∂u}{∂y}=(x^2+y^2+z^2)`_{x}=2y[/m]
[m] \frac{∂u}{∂z}=(x^2+y^2+z^2)`_{x}=2z[/m]
[m] \frac{∂u}{∂x}(M)=2\cdot 1=2[/m]
[m] \frac{∂u}{∂y}(M)=2\cdot 1=2[/m]
[m] \frac{∂u}{∂z}(M)=2\cdot 1=2[/m]
[m]gradu(M)= 2\cdot \vec{i} + 2\cdot\vec{j} + 2\cdot\vec{k} [/m]
2)
Производная по направлению:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }= \frac{∂u}{∂x}cos α + \frac{∂u}{∂y}cos β + \frac{∂u}{∂x}cos γ [/m]
[m]|\vec{a}|=\sqrt{3^2+2^2+6^2}=\sqrt{39}[/m]
Направляющие косинусы вектора vector{a}:
[m]cos α=\frac{a_{x}}{|\vec{a}|}=\frac{3}{\sqrt{39}}[/m]
[m]cos β =\frac{a_{y}}{|\vec{a}|}=\frac{2}{\sqrt{39}}[/m]
[m]cos γ =\frac{a_{z}}{|\vec{a}|}=\frac{6}{\sqrt{39}}[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }(M)=2\cdot \frac{3}{\sqrt{39}} + 2\cdot \frac{2}{\sqrt{39}} + 2\cdot \frac{6}{\sqrt{39}} = \frac{22}{\sqrt{39}} [/m]