Задача 59168 Исследование функции у=(х-1)^3-3(х-1) и...
Условие
Решение
y`=3(x-1)^2-3
y`=0
3(x-1)^2-3=0
3(x-1)^2=3
(x-1)^2=1
x-1= ± 1
x=0; x=2 - точки возможного экстремума
Находим знак производной:
__+___ (0) ____-____ (2) ___+____
y` >0 при x ∈ (- ∞ ;0) и (2;+ ∞ )
Значит на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ ) функция возрастает
y` <0 при x ∈ (0; 2)
Значит на (0 ;2) функция убывает
в точке x=0 максимум, производная меняет знак с + на -
y(0)=(0-1)^3-3*(0-1)=-1+3=2
[b](0;2)[/b] - точка максимума
в точке x=2 - минимум, производная меняет знак с - на +
y(2)=(2-1)^3-3*(2-1)=1-3=-2
(2;-2) - точка минимума
y``=6(x-1)
x=1- точка перегиба
вторая производная при переходе через точку меняет знак
На (- ∞: 1) y``<0 кривая выпукла вверх ( вогнута)
На (1;+∞) y``>0 кривая выпукла вниз ( выпукла)