Задача 59114 ...
Условие
2. 4sin²x+6cosx+1=0
3. 4sin²6x+8sin²3x=5
Решение
7–5sinx–6*(1-sin²x)=0
6sin^2x-5sinx+1=0
Квадратное уравнение относительно синуса
Замена переменной:
sinx=t
6t^2 -5t +1=0
D=25-24=1
t_(1)=(5-1)/12=1/3; t_(2)=(5+1)/12=1/2
Обратная замена:
sinx=1/3 ⇒ x=(-1)^(k)arcsin(1/3)+πk, k ∈ Z
sinx=1/2 ⇒ x=(-1)^(n)arcsin(1/2)+πn, n ∈ Z
О т в е т. (-1)^(k)arcsin(1/3)+πk, k ∈ Z; (-1)^(n)arcsin(1/2)+πn, n ∈ Z
2.
4*(1-cos²x)+6cosx+1=0
4cos^2x-6cosx-5=0
Квадратное уравнение относительно косинуса
Замена переменной:
cosx=t
4t^2 -6t -5=0
D=36+80=116=4*29
t_(1)=(6-2sqrt(29))/8; t_(2)=(6+2sqrt(29)/8
Обратная замена:
cosx=(6-2sqrt(29))/8 ⇒ x= ± arccos((6-2sqrt(29))/8)+2πn, n ∈ Z
cosx=(6+2sqrt(29))/8 ⇒ уравнение не имеет корней, так как (6+2sqrt(29))/8) > 1
О т в е т. ± arccos((6-2sqrt(29))/8)+2πn, n ∈ Z
3. 4sin[b]²[/b][red]6x[/red]+8sin[b]²[/b][red]3x[/red]=5
Один аргумент в два раза больше другого
Понижаем степень второго слагаемого с помощью формулы ( cм. скрин)
4sin[b]²[/b][red]6x[/red] +8*(1-cos[red]6x[/red])/2=5
4*(1-cos^26x)+4-4cos6x-5=0
4cos^2x+4cos6x-3=0
4t^2+4t-3=0
D=16-4*4*(-3)=64
t=-3/2; t=1/2
cos6x=-3/2 не имеет корней, |(-3/2)|>1
cos6x=1/2 ⇒ 6x= ± (π/3)+2πn,n ∈ Z
[b]x=± (π/18)+(π/3)*n,n ∈ Z[/b]- о т в е т