Задача 59103 Помогите пожалуйста ...
Условие
Решение
Дифференциальный бином. Подстановки Чебышева.
Запишем в виде:
∫ (x^3+1)^(-1/3)dx
( см скрин)
m=0
n=3
p=(-1/3)
Это 3 случай:
(m+1)/n + p = (1/3)+(-1/3)=0 -целое
[i]Замена переменной[/i]
[b]x^3+1=r^3x^3[/b] ⇒
x^3=(r^3-1)^(-1)
x=(r^3-1)^(-1/3)
dx=[blue]-(1/3)*3r^2*(r^3-1)^(-4/3)dr
[/blue]
(x^3+1)^(-1/3)=(rx)^(-1)=r^(-1)*x^(-1)=r^(-1)*(r^3-1)^(1/3)
тогда
∫ (x^3+1)^(-1/3)dx= ∫ r^(-1)*(r^3-1)^(1/3) * [blue]( -(1/3)*3r^3*(r^3-1)^(-4/3)dr)[/blue]=
=- ∫ (r)/(r^3-1) dr
А это интеграл от рациональной дроби...
Раскладываем на простейшие:
A/(r-1)
(Mr+N)/(r^2+r+1)
Но надо проверить все ли верно после упрощения....
10б)
[i]Замена переменной[/i]
sqrt(x)=t
x=t^2
dx=2tdt
Пределы
x=1 ⇒ t=sqrt(1)=1
x=+ ∞ ⇒ t=+ ∞
∫ ^(+ ∞ )_(1)e^(sqrt(x))dx= ∫ ^(+ ∞ )_(1)e^(t)*2tdt=2 ∫^ (+ ∞ )_(1)t*e^(t)dt
= по частям
