Задача 59030 Интегрированние тригонометрических...
Условие
математика ВУЗ
176
Решение
★
Замена переменной:
[m]tgx=t[/m] ⇒ [m] 1+tg^2x=\frac{1}{cos^2x}[/m] ⇒ [m] cosx=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}[/m]
[m]sinx=tgx\cdot cosx=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}[/m]
[m]x=arctgx[/m]
[m]dx=\frac{1}{1+t^2}dt[/m]
Тогда
[m] ∫ \frac{1}{sin^5x\cdot cosx}dx= ∫ \frac{1+t^2}{t^5}dt=∫ \frac{1}{t^5}dt+∫ \frac{1}{t^3}dt=[/m]
[m]=\frac{t^{-5+1}}{-5+1}+\frac{t^{-3+1}}{-3+1}+C=[/m]
[m]=-\frac{1}{4t^4}-\frac{1}{2t^2}+C=[/m]
[m]=-\frac{1}{4tg^4x}-\frac{1}{2tg^2x}+C=[/m]