Задача 59028 Помогите пожалуйста решить исследование...
Условие
Решение
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x } =(2xy-3x^2-2y^2+10)`_{x}=2y-6x[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y } =(2xy-3x^2-2y^2+10)`_{y}=2x-4y[/m]
Находим стационарные точки-точки, в которых частные производные равны 0.
Решаем систему
{2y-6x=0
{2x-4y=0
x=y=0
(0;0) - стационарная точка
Находим вторые частные производные:
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x^2} =(2y-6x)`_{x}=-6[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x ∂ y } =(2y-6x)`_{y}=2[/m]
[m]\frac{ ∂^z }{ ∂y^2 } =(2x-4y)`_{y}=-4[/m]
Они постоянны, поэтому и в стационарной точке значения такие же.
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x^2}(0;0)=-6[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x ∂ y }(0;0)=2[/m]
[m]\frac{ ∂^z }{ ∂y^2 } (0;0)=-4[/m]
Составляем определитель второго порядка:
[m] Δ=\begin {vmatrix} \frac{ ∂^2z }{ ∂x^2}(0;0)&\frac{ ∂^2z }{ ∂x ∂ y }(0;0)\\\frac{ ∂^2z }{ ∂x ∂ y }(0;0)&\frac{ ∂^z }{ ∂y^2 } (0;0)\end {vmatrix}[/m]
[m] Δ=\begin {vmatrix} -6&2\\2&(-4)\end {vmatrix}=-6\cdot (-4)-2\cdot 2= 24-4> 0[/m]
(0;0) - [b]точка экстремума [/b]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x^2}(0;0)=-6<0[/m] ⇒ это точка [b] максимума[/b]