Задача 59019 найти объем тела ограниченного...
Условие
Решение
( см рис.)
x^2/14+y^2/9=1 - линия пересечения плоскости z=0 и поверхности
x^2/14+y^2/9+z^2/4=1
x^2/14+y^2/9+(1/4)=1 - линия пересечения плоскости z=1 и поверхности
x^2/14+y^2/9+z^2/4=1
Область D ограниченная этими линиями:
x^2/14+y^2/9=1 - эллипс
x^2/14+y^2/9=3/4 - эллипс
x^2/14+y^2/9+z^2/4=1
⇒
z^2/4=1-x^2/14-y^2/9
z^2=4-(4x^2/14)-(4y^2/9)
z=sqrt(4-(4x^2/14)-(4y^2/9))
V= ∫ ∫ _(D) ( 1- sqrt(4-(4x^2/14)-(4y^2/9)))dxdy
Переход к [b]обобщенным полярным координатам[/b]
x=sqrt(14) ρ cos φ
y=3 ρ sin φ
dxdy=3sqrt(14) ρ d ρ d φ
Тогда
x^2/14+y^2/9=1 - эллипс переходит в окружность ρ =1
x^2/14+y^2/9=3/4- эллипс переходит в окружность ρ =sqrt(3)/2
1- sqrt(4-(4x^2/14)-(4y^2/9)))=1-sqrt(4-4 ρ ^2)
sqrt(3)/2 ≤ ρ ≤ 1
0 ≤ φ ≤ 2π
V= ∫^(2π)_(0) d φ ∫^(1)_(\sqrt(3)/2)(1-sqrt(1- ρ ^2)) ρ d ρ =( ρ^2/2+(1/3)sqrt((1- ρ ^2)^3))|^(1)_(\sqrt(3)/2)*(2π)
∫ sqrt(1- ρ ^2) ρ d ρ =[1- ρ ^2=t; -2 ρ d ρ =dt]=(-1/2)sqrt(t)dt=(-1/2)t^(3/2)/(3/2)=-(1/3)sqrt(t^3)=-(1/3)sqrt((1- ρ ^2)^3)