Задача 59016 y"+y'=cos2t...

606b274a286699463e30818f

05.04.2021 18:30:59

y"+y'=cos2t

5f3ea7e3faf909182968ddd9

05.04.2021 18:43:32

★

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Решаем однородное:

y``+y`=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+k=0

k_(1)=0; k_(2)=-1 - корни действительные различные


[b]y= C_(1)* e^(0x)+C_(2)*e^(-x)[/b] - общее решение однородного.

[b]y= C_(1)+C_(2)*e^(-x)[/b]


f(x)=cos2t

Комплексное число α + βi=0+ 2i не является корнем характеристического уравнения


Значит частное решение находим в виде "похожем на правую часть":


y_(частное)=Acos2t+Bsin2t



Находим производную первого порядка

y`_(частное)=А*(-sin2t)*2+B*(cos2t)*2



Находим производную второго порядка

y``_(частное)=4А*(-cos2t)-4B*(sin2t)

Подставляем в данное уравнение и находим А:

4А*(-cos2t)-4B*(sin2t)+2А*(-sin2t)+2B*(cos2t)=cos2t

-4A+2B=1
-4B-2A=0

-4A+2B=1
-4A-8B=0

10B=1

B=0,1

A=-2B=-0,2

О т в е т:

y=C_(1)+C_(2)*e^(-x)-0,2*cos2t+0,1*sin2t