Задача 59014 y''-5y'+6y=3e^(2x)...
Условие
Решение
Решаем однородное:
y``-5y`+6y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-5k+6=0
k_(1)=2; k_(2)=3 - корни действительные различные
Тогда общее решение однородного имеет вид:
y=C_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
[b]y= C_(1)* e^(2x)+C_(2)*e^(3x)[/b] - общее решение однородного.
f(x)=3e^(2x)
Значит частное решение в виде:
y_(частное)=Ax* e^(2x)
Находим производную первого порядка как производную произведения
y`_(частное)=А*e^(2x)+Ax*e^(2x)*2=(A+2Ax)*e^(2x)
Находим производную второго порядка как производную произведения
y``_(частное)=(2А)*e^(2x)+(A+2Ax)*2e^(2x)
Подставляем в данное уравнение и находим А:
(2А)*e^(2x)+(A+2Ax)*2e^(2x)-5*(A+2Ax)*e^(2x)+6Ax* e^(2x)=3e^(2x)
-A=3
A=-3
О т в е т:
y=C_(1)* e^(2x)+C_(2)*e^(3x)-3x* e^(2x)