Задача 59013 y"+4y'+4y=e^2t...
Условие
Решение
Решаем однородное:
y``-4y`+4y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+4=0
(k-2)^2=0
k=k_(1)= k_(2)=2 - корни кратные действительные
Тогда общее решение однородного имеет вид:
y=C_(1)e^(kt)+C_(2)*x*e^(kt)
Для случая k=2:
[b]y= C_(1) e^(2t)+C_(2)*te^(2t)[/b] - общее решение однородного.
f(x)=e^(2t)
Значит частное решение в виде:
y_(частное)=At^2* e^(2t)
Находим производную первого порядка как производную произведения
y`_(частное)=2A*t* e^(2t)+2A*t^2* e^(2t)=(2A*t+2A*t^2)* e^(2t)
Находим производную второго порядка как производную произведения
y``_(частное)=(2A*t+2A*t^2)`* e^(2t)+(2A*t+2A*t^2)*2* e^(2t)=(2A+4At+4At*+4At^2)* e^(2t)
Подставляем в данное уравнение и находим А
(2A+4At+4At*+4At^2)* e^(2t)-4*(2A*t+2A*t^2)* e^(2t)+4(At^2* e^(2t))=e^(2t)
2A=1
A=1/2
О т в е т. y=[b]C_(1)* e^(2t)+C_(2)*t*e^(2t)[/b]+(1/2)*t^2* e^(2t)
линейная комбинация трех[i] линейно независимых [/i]функций:
e^(2t)
t*e^(2t)
t^2* e^(2t)