Задача 58988 Прошу, помогите решить. Через правило...
Условие
Решение
Логарифмируем:
[m]lny=ln(1+\frac{3}{x})^{x}[/m]
По свойству логарифма степени:
[m]lny=x\cdot ln(1+\frac{3}{x})[/m]
Находим
[m]lim_{x → ∞} lny=lim_{x → ∞} x\cdot ln(1+\frac{3}{x})[/m] - неопределенность ( ∞ *0), которая
сводится с неопределенности
[m]lim_{x → ∞} x\cdot ln(1+\frac{3}{x})=lim_{x → ∞}\frac{ln(1+\frac{3}{x})}{\frac{1}{x}}[/m](0/0)
и поэтому можно применить правило Лопиталя:
[m]=lim_{x → ∞}\frac{(ln(1+\frac{3}{x}))`}{(\frac{1}{x})`}=lim_{x → ∞}\frac{\frac{1}{1+\frac{3}{x}}\cdot (1+\frac{3}{x})`}{(-\frac{1}{x^2})}=lim_{x → ∞}\frac{\frac{1}{1+\frac{3}{x}}\cdot (-\frac{3}{x^2})}{(-\frac{1}{x^2})}=3\cdot lim_{x → ∞}\frac{1}{1+\frac{3}{x}}=3[/m] ⇒
[m]lim_{x → ∞} lny=3[/m]
[m]lim_{x → ∞} y=e^{3}[/m] - о т в е т