Задача 58973 Найти сумму ряда...
Условие
математика ВУЗ
318
Решение
★
Раскладываем дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов:
[m]\frac{5}{25n^2-5n-6}=\frac{A}{5n-3}+\frac{B}{5n+2}[/m]
[m]5=A(5n+2)+B(5n-3)[/m]
[m]5=(5A+5B)n+2A-3B[/m] ⇒
{5A+5B=0 ⇒ A=-B
{5=2A-3B ⇒ B=-1
A=1
Находим n-ую частичную сумму
S_(n)=∑ ^(k=n)_(k=1)[m]\frac{5}{25k^2-5k-6}[/m]=∑ ^(k=n)_(k=1)[m](\frac{1}{5k-3}-\frac{1}{5k+2})=[/m]
=[m](\frac{1}{2}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{12})+(\frac{1}{12}-\frac{1}{17})+...+(\frac{1}{5n-8}-\frac{1}{5n-3})+(\frac{1}{5n-3}-\frac{1}{5n+2})=[/m]
[m]=\frac{1}{2}-\frac{1}{5n+2}[/m]
По определению:
[m]S=lim_{n → ∞ }(\frac{1}{2}-\frac{1}{5n+2})=\frac{1}{2}[/m]