Задача 58968 Помогите пожалуйста решить систему диф...
Условие
Решение
y=x`-2x
Подставляем во второе:
(x`-2x)`=3x+4*(x`-2x)+2t
x``-6x`+5x=2t- линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Решаем однородное:
x``-6x`+5x=0
Составляем характеристическое:
k^2-6k+5=0
D=36-20=16
k_(1)=1; k_(2)=5
корни действительные различные
Поэтому общее решение однородного уравнения
x_(общее однород)=С_(1)e^(t)+C_(2)e^(5t)
Так как правая часть неоднородного f(t)=2t
Частного решение неоднородного уравнения
x_(частное неодн)=Аt+B
x`_(частное неодн)=А
x``_(частное неодн)=0
Подставляем в уравнение:
0-6А+5*(Аt+B)=2t
5At+(5B-6A)=2t
5A=2
A=2/5
5B-6A=0
B=(6/5)A=12/25
x_(общее неоднород)=x_(общее однород)+x_(частное неодн)=
=С_(1)e^(t)+C_(2)e^(5t)+(2/5)t+(12/25)
Подставляем в
y=x`-2x
y=(С_(1)e^(t)+C_(2)e^(5t)+(2/5)t+(12/25))-2*(С_(1)e^(t)+C_(2)e^(5t)+(2/5)t+(12/25))
y=C_(1)e^(t)+5C_(2)e^(5t)+(2/5)-2C_(1)e^(t)-2C_(2)e^(5t)-(4/5)t-(24/25)
y=-C_(1)e^(t)+3C_(2)e^(5t)-(4/5)t-(14/25)
О т в е т.
{x=С_(1)e^(t)+C_(2)e^(5t)+(2/5)t+(12/25)
{y=-C_(1)e^(t)+3C_(2)e^(5t)-(4/5)t-(14/25)